摘 要：調制函數(shù)法已經(jīng)被用于線性和非線性系統(tǒng)的辨識。在這篇文章中，我們將調制函數(shù)法推廣到分數(shù)階系統(tǒng)的在線辨識中。首先，給出一個基于調制函數(shù)的分數(shù)階微分的分部積分公式。然后，我們將這一公式應用到分數(shù)階系統(tǒng)中，將系統(tǒng)輸入和輸出的分數(shù)階微分轉換為調制函數(shù)的分數(shù)階微分，通過選取一組調制函數(shù)，將分數(shù)階系統(tǒng)參數(shù)辨識問題轉化為求解代數(shù)方程組的問題。

　　關鍵詞：辨識;分數(shù)階系統(tǒng);調制函數(shù)

　　1 概述

　　分數(shù)階微積分方程因為能夠準確描述自然世界的現(xiàn)象而得到廣泛的應用。多孔介質中的流體運動，半無限平板中的熱傳導，半無限輸電線路的電壓電流關系等問題都可以準確地利用分數(shù)階微積分方程描述。該論文主要解決分數(shù)階動力系統(tǒng)的辨識問題，系統(tǒng)辨識的主要目標是根據(jù)系統(tǒng)的輸入和輸出來確定模型參數(shù)。在解決分數(shù)階系統(tǒng)辨識問題中已經(jīng)提出了許多方法，這些方法都是基于整數(shù)階系統(tǒng)辨識方法的推廣。我們將這些方法分為時域辨識法和頻域辨識法。時域辨識發(fā)主要基于利用分數(shù)階微分的 Grunwald 定義將分數(shù)階微分方程進行離散化，并且通過最小二乘法進行參數(shù)辨識。文獻提出通過有理模型來近似分數(shù)階積分算子。文獻利用分數(shù)階正交基函數(shù)進行系統(tǒng)辨識。

　　在本文中，我們利用調制函數(shù)法進行分數(shù)階系統(tǒng)的參數(shù)辨識。調制函數(shù)法最早由 Shinbrot 提出來估計狀態(tài)空間方程中的參數(shù)。由于調制函數(shù)的性質，由分數(shù)階微分方程表示的分數(shù)階系統(tǒng)可以轉化為線性代數(shù)方程組。因此這就避免了，在分數(shù)階系統(tǒng)辨識中初始條件的未知對辨識過程的影響。調制函數(shù)法在文獻中就被推廣到分數(shù)階系統(tǒng)辯識問題中，然而該作者僅用該方法降低了分數(shù)階系統(tǒng)中的階次。

　　在下一節(jié)中，我們先回顧分數(shù)階微分和調制函數(shù)的定義。然后在第三部分中應用調制函數(shù)來辨識分數(shù)階線性系統(tǒng)。仿真實驗在第四部分中進行。第五部分進行主要結果的總結。

　　2 預備知識

　　2.1 Riemann-Liouville 分數(shù)階微分

　　設 f 是定義在 R 上的連續(xù)函數(shù)，那么 f 的 Riemann-Liouville 分數(shù)階微分定義為：

　　(1)這里 ，并且 是 Gamma函數(shù)。例如，利用(1)式，n 次多項式的分數(shù)階微分為[7]：

　　2.2 調制函數(shù)設 ，g 是一個函數(shù)，滿足下面性質：那么 g 為 l 階調制函數(shù)。

　　2.3 分數(shù)階分部積分法

　　調制函數(shù)的另一個有用的性質由下面定理給出：

　　定理 1：設 y 為一個函數(shù)，其 階分數(shù)階微分存在，并且 g 為 l 階調制函數(shù)， 。

　　3 分數(shù)階系統(tǒng)辨識

　　我們考慮如下分數(shù)階線性系統(tǒng)：

　　這里 y 是輸出，u 是輸入，ai， 是待辨識的未知參數(shù)，并且 ， 滿足 ，， 。令 ， ，并且 ，這里 代表大于或等于 的最小整數(shù)。然后，我們選取一組調制函數(shù) ，其中 。根據(jù)定理 1，我們可以給出下面的引理。

　　引理 2.：令 是一組 l 階調制函數(shù)。我們假設分數(shù)階線性系統(tǒng)(3)中的 ，那么可以通過求解下面的線性系統(tǒng)來對辨識分數(shù)階系統(tǒng)中的未知參數(shù)。(4)這 里 ， 為 待 辨 識 參數(shù)，并且以及證明：在(3)式兩邊同乘上 gn 并且在區(qū)間 上積分，我們得到：利用定理 1，可以得到(5)定理證畢。

　　通過使用定理 1，可以通過計算調制函數(shù)的分數(shù)階微分來代替計算輸入和輸出函數(shù)的分數(shù)階微分。一方面，相比較于輸出函數(shù)，調制函數(shù)是已知的并且不含噪聲的。另一方面，有的時候輸入函數(shù)是非連續(xù)函數(shù)，這就給計算輸入函數(shù)的分數(shù)階微分帶來很大困難，我們可以通過計算調制函數(shù)的分數(shù)階積微分來避免這一困難。最后需要提到的是,在計算(5)式中的積分時，我們采用數(shù)值積分方法中的梯形準則。在辨識過程中，如果我們將 T 的值取作辨識參數(shù)的時間就可以實現(xiàn)在線辨識。

　　4、 數(shù)值實驗

　　下面我們利用數(shù)值實驗來展示本文中辨識方法的準確性與穩(wěn)定性。

　　我們考慮下面的分數(shù)階系統(tǒng)：在辨識過程中，為了方便計算分數(shù)階微分，我們選取調制函數(shù)為 這里取 。選取輸入函數(shù)為

　　并且，利用梯形準則來計算(5)式中的積分。圖 1 展示了我們得到的參數(shù)辨識結果，圖 2 展示了辨識系統(tǒng)的輸出和系統(tǒng)真實輸出是完全吻合的。

　　5、結論

　　在本論文中，調制函數(shù)法被應用到分數(shù)階系統(tǒng)的在線辨識中。利用該方法，通過求解線性方程組完成分數(shù)階系統(tǒng)辨識問題。由于調制函數(shù)的性質，我們避免了計算輸入和輸出函數(shù)的分數(shù)階微分，也可以避免分數(shù)階系統(tǒng)初始條件對辨識過程的影響。方法的有效性和可行性已通過數(shù)值算例證實。需要提到的是，該方法依賴于調制函數(shù)的選擇，今后還需進一步考慮在分數(shù)階時滯系統(tǒng)中未知階次的辨識問題

　　參考文獻

　　[1]A. Oustaloup, L. Le Lay and B. Mathieu, Identification of non integer order system in the time domain, in proceeding IEEE CESA’96, SMCIMACS Multiconference, Computational En- gineering in Systems Application, Symposium on Control, Opti- misation and Supervision, Lille, France, July 9-12,1996.

　　[2] J.C. Trigeassou, T. Poinot, J.Lin, A. Oustaloup and F. Lev- ron, Modeling and identification of a non integer order system, in: Proceedings of the ECC99, European Control Conference, Karlsruhe, Germany, 1999.

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