本篇教師論文探討小學數學開放題問題解決的模型。 《小學數學教育》是中國教育學會小學數學專業委員會會刊。該刊創辦以來，密切配合基礎教育的中心工作和中國教育學會小學數學專業委員會的研究課題，交流小學數學教學改革的經驗，對提高我國小學數學教學質量起到了積極的推動作用，受到廣大小學數學教師、教研員的歡迎。

　　開放題是極富教育價值的一種數學問題的題型,它的出現不僅是社會發展的產物，也是數學文化發展的產物。指向學生建構相應的開放題問題解決的模型，能夠開啟數學學習、研究的新天地，能夠使數學學習達到最優化的境地。“模型解題法”是我國最優秀的教學經驗的結晶之一，它抓住了數學學習的本質規律，讓學生在“抓題型、套模型、出結果”等學習研究中，實現學習效益的最大化。用活開放題問題的模型，不僅能促進知識的積淀、經驗的積累，更能促進數學思維的發展，培養學生的創新求異能力。

　　【關鍵詞】開放題;解決問題的模型;數學思維;數學素養

　　《義務教育數學課程標準(2011年版)》明確指出：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”從中不難看出，在知識、經驗等應用過程中模型建構與模型運用將成為學生解決問題的制勝法寶，也是發展學生數學素養的有效策略之一。開放題問題的研究與探索是發展學生數學思維、綜合素養的有效路徑。同時，如能引導學生建構對應的解決問題的模型，不僅能提高學習數學的興趣和解決問題的效率，更能發展學生的數學應用意識，拓展學生的視野，從而讓數學學習、解決問題變成一種的快樂體驗之旅。

　　一、把握準條件類開放問題

　　數學開放題是相對傳統的封閉題(條件完備、結論確定)而言的，一個數學問題，如果它的條件不完全確定、答案選擇不唯一，或者解決問題的方法與策略也具有多樣性，那么，它就是一個開放性的數學問題。這類習題的核心是發展學生的開放性思維，引導學生學會求異，學會創造，從而實現發展學生數學思維、提升數學素養、豐厚數學能力的基本夙愿。作為小學數學教師，在指向學生研究開放性問題的過程中，要關注學生的經驗積累，幫助學生在問題解決的過程中掌握基本的數學模型，使問題解決的方法便捷、高效。其中，指向學生建構條件類開放問題的解決模型就是一種明智之舉。

　　1. 明晰條件不足的開放題

　　數學開放題的編制方法是千變萬化的，其中條件不足就是較為典型的一類。因此，教師需要幫助學生領悟把握這類習題的特點，使思考更具靶向性，從而加速學習的推進。

　　如，把鐘面上的數分成兩部分，使它們的差為0。這就是一道典型的條件不足的開放題，在教學指向中，一方面要求學生知曉鐘面數字的特點，另一方面還得明晰習題的根本要求，把鐘面上的12個數分成兩部分，保證兩部分的和相等，這樣才能達成差為0 的基本要求。明確解答的思路：1+2+3+4+…+12=78，應該分成兩組數的和分別等于39。因此，學生應掌握其中條件不充足的基本模型，從1~12這十二個數中取出其中的若干個數，使它們的和是39。

　　2. 理解條件弱化的開放題

　　弱化陳題的條件，使其結論多樣化，也是編制開放題的基本模型之一。指向學生把握該類題目的特征，也會達成訓練數學思維、發展數學能力的基本目的。

　　如，利用上述問題(鐘面數字問題)的范式，弱化一些條件，幫助學生建構對應的解題模型，形成可靠的解題經驗。“在一個藍色星球上，那里每天只有18個小時。你能把鐘面上的數也分成兩份，使它們的差為0嗎?”問題條件的變化，目的不是解答，而是要引導學生學會分析問題、比較問題，并能夠進行知識、經驗的鏈接，促進數學視角的拓展，從而延展學習經驗，豐厚知識儲備，使學生的數學思維有所發展。

　　3. 掌握條件變化的開放題

　　開放題不是無根之水，也不是海市蜃樓，而是與實際生活緊密聯系的具體問題。教師要引導學生學會聯系，學會積極的聯想，從而使數學學習成為體系。

　　如，仍然是上述的鐘面數字的問題，進行變換條件，使之延展開來。12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 =21，添上合適的符號使等式成立。這個問題既可以看成鐘面問題的模仿題，也可以看作是鐘面數字問題的延伸，其目的不是一味地讓學生學會解答，而是建模，形成經驗，從而發展數學思維。

　　總之，通過既有問題(陳題)的條件改造，使之成為開放題，從而豐富學生感知，促進學習經驗、解題經驗的整合與發展，真正促進數學思維的發展。

　　二、理解準結論類開放問題

　　結論類開放題就是指在一定的條件下，可以是既滿足條件，且所得結果的意義相同的問題，也可以是提供一定的條件，滿足條件的答案有多個的題型。指向學生理解準這類開放題的解題模型，就是幫助學生進一步理解這類習題的分析方法、解答方法，促使學生積淀對應的解決問題的經驗，形成敏捷的解決問題的思維。

　　1. 理解透不同問題同一結果的開放題

　　如，一艘貨船和一艘客船同時從相距876千米的A、B兩港口相對開出。客船順水航行，每小時行駛38千米;貨船則逆水航行，每小時行駛35千米。

　　①經過多少小時后兩艘船在途中相遇?

　　②客船開出幾小時后兩艘船相遇?

　　③貨船行駛多少小時才能遇到客船?

　　題目中看似三個不同的問題，但不難發現這一組問題的基本結構相同，解答過程相同，結論也相同。這類習題的訓練目的就是指向學生學會辨析，學會把握問題的本質：“相遇時間=總路程÷速度和”。進而幫助學生進一步理解“速度和”的概念，領悟這類問題的基本架構，形成對應的解題模式，豐富學生的解題經驗，并在訓練中提升學生的思維感悟力。

　　2. 掌握好同一問題不同結果的開放題

　　結果多樣化的開放題是最值得教師們推崇的一類習題。這類習題不僅能開闊學生的視野，更能激活學生的多維感知力，引導學生創新，促進學生思維能力的發展。

　　如，小明和小華到學校都是直的公路，一天，他們同時從家中出發到學校。小明每分鐘走60米，小華每分鐘走70米。經過20分鐘兩人同時到達學校，他們兩家相距多少米?粗看一下，學生有熟悉感，解答過類似的問題。但解答中會出現答案唯一的現象，因此，引導學生多角度思考就成為訓練的重點，促使建構對應的解題模型就成為難點。指向學生聯系已經解答過的類似習題，引導學生辨別其中的差異，學生就會把握準該題的要點，從而能較為科學地把握住這類習題的基本結構：

　　①兩家和學校在一直線上，并且在學校的兩邊。60×20+70×20=2600(米)。

　　②兩家和學校在一直線上，且在學校同一方向的一邊。70×20-60×20=200(米)。

　　③兩家和學校不在一直線上。那么兩家的距離就一定小于2600米，大于200米。

　　由此可以看出，開放題的結論可能是一樣，也可能是多元化的。這就需要教師在解題訓練中不能只盯住答案，而要著力于學生解題經驗的積累，幫助學生建構解題模型，有效地促進學習思維的提升。

　　三、吃透策略類開放問題

　　解決開放題也需要掌握一定的技巧與策略。因此，吃透一些常規性的策略類開放題的解決方法，就成為小學數學教學的基本任務之一。同時，這一過程不僅能擴展學習的儲備，更能促進學習建模，使學習效率大幅度提升。

　　1. 知曉常規策略的開放題

　　指向學生學會根據問題的條件去進行分析、推理、判斷等數學活動，就一定能感悟到或掌握好解決問題的常規途徑、手段，豐厚解決問題的經驗，使數學學習充滿情趣，更閃爍著智慧的光芒。

　　如，在第一個話題中遇到的“鐘面數字問題”，如果任憑學生自主思考，自主揣摩，盡管學生獲得答案的途徑呈現出多元化的格局，但對學生的有序思考的訓練、思維的嚴密性等層面的訓練將會出現較為尷尬的局面。因此，指向學生掌握必要解決問題的模型，把握準對應的解題策略，無疑能讓數學學習步入到“百尺竿頭更進一步”的理想境地。

　　題中要求“差為0”，這就說明要把12個數分成兩部分，每一部分的和都是39。為防止遺漏和重復，就得幫助建構“取數時遵循由大到小”的數學模型，使思考過程更加嚴密。首先，取其中最大的三個數，12+11+10=33，發現是小于39，所以至少要去4個數。這樣就獲得最基本的四組數：(12，11，10，6) (12，11，9，7) (12，10，9，8)。然后，指向學生學會由4個數推廣到5個數、6個數等，這樣就會獲得(12，11，10，5，1) (12，11，10，4，2) (12，11，9，6，1)……最終，通過學生的集思廣益，我們會得到124個解答。

　　幫助學生建立這樣的解題模型，不僅能優化學習，更能保證學生有序思維能力得到長足的發展，促進學生數學素養的全面發展。

　　2. 了解非常規策略的開放題

　　非常規策略的開放題就是指那些超越教材的常規解題思路或基本經驗的習題，重點是引導學生學會使用非常規思路、方法等去研究問題，在解決問題的過程中學會求異，學會創新。

　　如，有36名學生去公園劃船。船價顯示：每人票價8元，如果滿40人可以享受團體票價—八折優惠。算一算，用最合算的方法去購票需要付多少錢?這類習題就超越了常規的經驗，在購票過程中不是買36張，而是賣40張，盡管多賣了，但實際卻少用了32元。

　　綜合上述兩個案例，它清楚地顯示了指向學生掌握基本策略和非常規策略等解決問題的模型，能夠加速思考的深入，有效地改進練習的狀態，使數學學習徜徉在幸福與快樂之中。

　　四、挖掘準綜合類開放問題

　　綜合開放題中的條件、問題、策略等基本都是多元化的，這就要求學生運用已有的知識儲備、經驗、技能等去假設和尋找，并在此基礎上去探索解決問題的路徑，實現問題的突破。

　　如，在一塊100平方米的花圃中種上一半的郁金香，你會怎么設計圖案呢?這是一道開放度極大的習題，首先，要求學生想像出自己心目中的花圃;其次，還要構思一半面積的構成;第三，還要進行簡單的驗證。我們曾經在五年級學生中做過簡單的測試，發現學生給出了近30種圖案。由此可見，指向學生挖掘準綜合類的開放題，能夠開啟數學學習新的一扇窗戶。

　　開放題是極富教育價值的一種數學問題的題型，它的出現不只是訓練的需要，更是學生的發展的需要，也是時代呼喚的結果。因此，在小學數學教學中，教師應適度地引入開放題教學，通過開放題多樣性、探索性、層次性等特點為學生運用知識、技能提供訓練場，為學生發揮各自的想象，達到數學思想、方法等得以順利交流的學習目的。并指向學生掌握必要的開放題解題模型，以較大限度地激發學生學習數學的興趣，訓練學生的開放思維、集中思維、逆向思維等，從而有效地培養學生的創新能力。

　　總之，通過開放題解題模型的建構，能夠促使學生掌握更科學的學習方法，促使學生具備舉一反三的能力，也能讓每一個孩子都能學會學習，愛上學習。同時，教師還應積極地營造訓練的氛圍，促進學生思維的發展，逐步使之成為一種新的文化，并根植于具有中國特色的數學文化中，綻放它的光彩。