摘要:本文主要是從積極的方面介紹高等數學培養大專學生應用能力提高方面做個探討，希望更多的大專學生能學習到高等數學課程，領悟到高等數學的核心思想，在工作崗位上有所作為。高等數學核心思想是極限，其主要研究對象是函數，函數是兩個量之間的關系。高等數學主要研究方法是三大運算，首先是極限運算，極限運算解決函數連續問題。其次是函數的微分運算，微分運算是解決函數單調性，最值和函數成圖等問題。最后是積分運算，積分運算是解決連續區間內累積和的問題。高等數學課程的特點是觀點鮮明，利用圖表，有難度更有理有據，對大學生應用能力的培養和提高具有很大的幫助作用。

　　關鍵詞:高等數學課程;微分運算;積分運算

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　　1函數極限定義與應用標準探究

　　在高等數學中，我們接觸到的第一個定義就是函數極限的定義，這個定義是高等數學的核心思想，我們先來重溫一下函數極限的定義。

　　定義:設函數f(x)在xb＞0上有定義，A為一個常數，如果對于任意給定的正數ε(無論多么小)，總存在正數x＞b，使7得當xx時，有|f(x)－A|＜ε，則稱函數f(x)當x→∞時極限為A。

　　函數極限定義極其嚴縝。定義首先給極限制定了一個標準，這個標準就是定理中任意給定的一個無窮小量ε，給定了這個標準后定義又提供了檢驗該標準的方法，這個方法就是找到某一正數x，從x以右的所有的函數f(x)減去某個常數A的絕對值都要小于給定的這個標準小量。

　　從極限觀點來看，無窮小量ε是極限為零的一個變量。古代人不知道如何求圓的周長，想了很多方法，我國古代數學家劉徵先從求圓內接六邊形的周長開始，然后逐漸把邊數擴大的方法來求圓的周長大小。劉徵每求一次就算一下正多邊形周長與直徑的比，用一個分數來表示，這樣反復做了多次后，劉徵得到一個分數系列。劉徵的結論是圓內接正多邊形的邊數越多，圓內接正多邊形的周長與圓周就越接近，所得到的分數就越接近圓周率π。

　　我們可以很清晰的認識到，無論正多邊形的邊數如何，它都是一個圓內接的正多邊形，不是圓。但是劉徵的方法是可以操作的，做出來的結果與預先設定的標準是無限接近的。極限只能是在有標準的條件下可操作的方法中過程的無限接近，而不是達到。這種思想方法可以稱為高等數學核心思想。這種思想貫穿了微積分的求極限，求導數，求積分的運算之中。它是一次革命性的思想轉變，表現為標準可以檢驗，方法可以操作，由此及彼，此不一定是彼，彼也不一定是此。抓大放小，抓主要矛盾，研究主要實體。

　　函數極限的思想從根本上改變了我們中學數學中呆板的舉一反三的學習模式，它啟發我們，做任何一件項目，先要制定出項目的應用標準，然后在此標準下尋找到行之有效的可以操作的方法。如果制定項目標準是一種創新思想，在這種思想下采取行之有效的操作方法是一種創業能力，我們職業教育培養的人才，就應該是這種具有創新思想創業能力的應用型人才。

　　2三個導數中值定理在函數中證明及計算

　　高等數學中第二個運算是微分運算，微分運算中有三個中值定理，分別是羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，這三個中值定理互為補充，再配合表格圖形，對函數f(x)的研究如庖丁解牛一般準確。

　　先看羅爾定理;設函數f(x)滿足:(1)在閉區間[]a，b上連續。(2)在開區間(a，b)內可導。(3)若有f(a)=f(b)。則至少存在一點ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0。

　　我們認真解讀一下羅爾定理，羅爾定理的前二個條件是函數連續，或有可去間斷點，第三個條件是重點，函數只要有兩處函數值相等，那么在連續函數f(x)中就存在著極值點，通過f'(ξ)=0把所有的極值點找出來，就確定了函數增減區間的分界點。這些點分布在坐標軸上就是函數的區間分界點。

　　我們找到了增函數和減函數的區間以后，如何判斷區間內函數是增函數還是減函數呢?拉格朗日中值定理給予了很好的回答。拉格朗日中值定理:設函數f(x)滿足:(1)在閉區間[]a，b上連續。(2)在開區間(a，b)內可導。則至少存在一點ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=f(b)-f(a)b-a。在f'(4ξ)=f(b)-f(a)b-a中，ba，若f(b)f(a)，則函數單調增，反之，函數單調減。拉格朗日還給我們提供了一種思路，若在一段區間內函數都是增函數，我們就可以用求導的總法來求解函數中的不等式和恒等式。例如，證明當x1時，exex。

　　這類題目在中學數學中是難題，而應用拉格朗日中值定理，我們只需設f(x)=ex-ex，在(1，")內f(x)單調遞增即可。證明過程如下。證明:設f(x)=ex-ex，f(1)=e1-e1=0。又f'(x)=ex-e，e=2．71，∴exe，f'(x)0，f(x)0，exex。我們可以利用中值定理，通過表格來清楚地知道函數的增減區間和增減的性質。

　　3五個函數貫穿三種計算方法之中

　　在高等數學中有五個基本初等函數貫穿始終，這五個基本初等函數是冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數。高等數學課程看起來問題多，思緒復雜，但貫穿整體的就是這五個基本初等函數及其組合而成的復合函數在極限運算中、微分運算中、積分運算中的應用和變化。我們學習者掌握了這條主線后就可以在學習中進行比較，使學習變得簡單起來。

　　五個基本函數在極限和微分運算中較為簡單，不多重復，在分部積分法中有兩兩相乘的積分情況。u(x)v(x)dx=u(x)v(x)－v(x)du(x)它主要的方法和技巧就是把較難的積分u(x)dv(x)轉化為容易積分的v(x)du(x)，這不是一種偷梁換柱的耍滑頭，而是在工作中用簡單的技巧代替復雜的困難，是一種智慧，也是一種工作能力的體現。

　　分部積分法的關鍵是u(x)和dv(x)的認識和分配，做好了事半功倍，開卷有益，一舉拿下，用得不好，則難上加難，雪上加霜。

　　此處如何選擇呢?有個非常簡單的口訣，三指動，反對不動，三指相遇，循環決定。

　　4高等數學習題本質上是邏輯能力的培養

　　高等數學課在本質上也是一門習題課，我們有些學生上課聽得懂課，下課也會教其他學生，但是考試起來就會出錯。追究其原因，主要是缺乏練習。數學課程只有練習才會。多練才能出彩，如果懂了原理而缺乏練習，最終結果還是不會。

　　高等數學的習題其實質上是一種邏輯思維的鍛煉，習題過程是一種語言模式，一行一行的作業過程寫下來，讓看作業的老師和同學看懂了，理解了，其中的邏輯關系一定要正確，邏輯思維我們都能接受。

　　我們的高校，有很多學校沒有開設邏輯課程，我們大學生的邏輯能力大部分是從高等數學的習題練習而來。

　　數學練習的格式是一種邏輯推理，在高等數學中有時候遇到一些較難解決的題目時則要運用一些特殊的方法，例如構造法來解題。現舉二例。

　　5應用數學建模來促進同學們應用數學的能力

　　高等數學不是大學生在大學的象牙塔里玩的數字游戲，我們要把生活中的數學引入到他們的學習之中，讓他們在學習之中會應用數學知識建立數學模型，提高和促進他們應用數學知識的能力。我們由淺而深的介紹兩種建立數學模型的例子。

　　(1)鐵路錢上AB段的距離為100公里，工廠C在距A20公里處，AC垂直于AB，為了運輸需要，要在AB錢上選定一上D修筑一條公路，已知鐵路與公路每千米貨運的運費之比為3∶5，為了使產品從工廠運到消費點B的運費最省，問D點應選在何處?解:畫圖略設D點在AB鐵路上，D距A點x公里處。依題意有，BD=100-x，CD=202槡+x2。設總的運費為W，則鐵路運費為3K，公路運費為5K(K為常數)。則w=3k(100－x)+5k202槡+x2(0!x!100)。求W的最小值，只需令W的導數=0。有W'=-3k+5kxx2槡+400=0得x=15km，W(0)=400k，W(15)=380k，W(100)=5k1002槡+202，從而當x=15時，W最小。我們可以選擇2013年全國大學生數學建模競賽的D題為例。D:在公共自行車的服務系統中，自行車的租賃的站點位置及各站點自行車鎖樁和自行車數量的配置。現為浙江省溫州市鹿城區公共自行車管理中心的20天借車和還車的數據。在所給出的所有站點每天車輛借還情況的已知數據中，分別統計出每一個站點每天的借還車頻次和每一個站點的20天的總的借還車頻次;其次對所有站點的20天的總的借還車頻次的多少排序;最后對每次用車的時間作統計并分析出其分布情況。

　　(2)從已給出的數據中，統計20天中每天使用不同借車卡的數量，并統計每張借車卡所累計借車次數的分布情況。

　　(3)利用所給數據找出所有站點使用公共自行車數最大的一天。①定義兩個站點之間的距離，找出自行車借車后還車之間距離最短的站點和距離最長的站點。即用時最少的兩個站和用時最長的兩個站;其次統計出借還車在同一站點且用時超過一分鐘的情況。②統計出借還車頻次最多的站點并對借車還車時刻和使用時間長短作出分布圖。③找出各站點的借車和還車高峰時段，列表出高峰時段各站點的借車頻次和還車頻次;并且歸類出具有共同借車和還車高峰時段的站點。

　　(4)利用統計結果中的信息，提出對目前公共自行車服務系統站點的設置和鎖樁數量的配置的建議。

　　(5)找出公共自行車系統的運行規律，并對此提出改進建議。

　　6結語

　　這個題目限于篇幅我們就不展開討論了。筆者從2005年開始帶領學生參加大專組的數學建模比賽，大專組數學建模比賽主要做C題和D組，兩個題目中一個題是希望學生利用數學公式進行解題，一個題是希望學生從優化角度進行解題。兩個題都要進行數據處理，兩個題中的每個小問題又牽涉許多小模塊的數據知識點。例如插值，進行預估的最小二乘法，線性回歸補充某個數，兩個量的比較，期望值的求法，等等，學生們只要在論文中對題目中的知識點有所回應，有所計算，都可以取得不錯的成績。全國大學生數學建模比賽應用性強，起點高，拓寬視野，有利于三人團隊合作，真的是一次參賽，學生終生受益。

　　參考文獻:

　　［1］閆振榮．如何處理微積分中的分部積分法．教育教學研究論叢，1999:159-160．

　　［2］許克威．應用構法解決疑難題．大學時代，2008(11):58-59

　　許克威