摘要:本文主要是從積極的方面介紹高等數(shù)學(xué)培養(yǎng)大專學(xué)生應(yīng)用能力提高方面做個(gè)探討，希望更多的大專學(xué)生能學(xué)習(xí)到高等數(shù)學(xué)課程，領(lǐng)悟到高等數(shù)學(xué)的核心思想，在工作崗位上有所作為。高等數(shù)學(xué)核心思想是極限，其主要研究對(duì)象是函數(shù)，函數(shù)是兩個(gè)量之間的關(guān)系。高等數(shù)學(xué)主要研究方法是三大運(yùn)算，首先是極限運(yùn)算，極限運(yùn)算解決函數(shù)連續(xù)問題。其次是函數(shù)的微分運(yùn)算，微分運(yùn)算是解決函數(shù)單調(diào)性，最值和函數(shù)成圖等問題。最后是積分運(yùn)算，積分運(yùn)算是解決連續(xù)區(qū)間內(nèi)累積和的問題。高等數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)是觀點(diǎn)鮮明，利用圖表，有難度更有理有據(jù)，對(duì)大學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)和提高具有很大的幫助作用。

　　關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué)課程;微分運(yùn)算;積分運(yùn)算

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　　1函數(shù)極限定義與應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)探究

　　在高等數(shù)學(xué)中，我們接觸到的第一個(gè)定義就是函數(shù)極限的定義，這個(gè)定義是高等數(shù)學(xué)的核心思想，我們先來重溫一下函數(shù)極限的定義。

　　定義:設(shè)函數(shù)f(x)在xb＞0上有定義，A為一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(無論多么小)，總存在正數(shù)x＞b，使7得當(dāng)xx時(shí)，有|f(x)－A|＜ε，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)極限為A。

　　函數(shù)極限定義極其嚴(yán)縝。定義首先給極限制定了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就是定理中任意給定的一個(gè)無窮小量ε，給定了這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)后定義又提供了檢驗(yàn)該標(biāo)準(zhǔn)的方法，這個(gè)方法就是找到某一正數(shù)x，從x以右的所有的函數(shù)f(x)減去某個(gè)常數(shù)A的絕對(duì)值都要小于給定的這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)小量。

　　從極限觀點(diǎn)來看，無窮小量ε是極限為零的一個(gè)變量。古代人不知道如何求圓的周長，想了很多方法，我國古代數(shù)學(xué)家劉徵先從求圓內(nèi)接六邊形的周長開始，然后逐漸把邊數(shù)擴(kuò)大的方法來求圓的周長大小。劉徵每求一次就算一下正多邊形周長與直徑的比，用一個(gè)分?jǐn)?shù)來表示，這樣反復(fù)做了多次后，劉徵得到一個(gè)分?jǐn)?shù)系列。劉徵的結(jié)論是圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，圓內(nèi)接正多邊形的周長與圓周就越接近，所得到的分?jǐn)?shù)就越接近圓周率π。

　　我們可以很清晰的認(rèn)識(shí)到，無論正多邊形的邊數(shù)如何，它都是一個(gè)圓內(nèi)接的正多邊形，不是圓。但是劉徵的方法是可以操作的，做出來的結(jié)果與預(yù)先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)是無限接近的。極限只能是在有標(biāo)準(zhǔn)的條件下可操作的方法中過程的無限接近，而不是達(dá)到。這種思想方法可以稱為高等數(shù)學(xué)核心思想。這種思想貫穿了微積分的求極限，求導(dǎo)數(shù)，求積分的運(yùn)算之中。它是一次革命性的思想轉(zhuǎn)變，表現(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)可以檢驗(yàn)，方法可以操作，由此及彼，此不一定是彼，彼也不一定是此。抓大放小，抓主要矛盾，研究主要實(shí)體。

　　函數(shù)極限的思想從根本上改變了我們中學(xué)數(shù)學(xué)中呆板的舉一反三的學(xué)習(xí)模式，它啟發(fā)我們，做任何一件項(xiàng)目，先要制定出項(xiàng)目的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)，然后在此標(biāo)準(zhǔn)下尋找到行之有效的可以操作的方法。如果制定項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)是一種創(chuàng)新思想，在這種思想下采取行之有效的操作方法是一種創(chuàng)業(yè)能力，我們職業(yè)教育培養(yǎng)的人才，就應(yīng)該是這種具有創(chuàng)新思想創(chuàng)業(yè)能力的應(yīng)用型人才。

　　2三個(gè)導(dǎo)數(shù)中值定理在函數(shù)中證明及計(jì)算

　　高等數(shù)學(xué)中第二個(gè)運(yùn)算是微分運(yùn)算，微分運(yùn)算中有三個(gè)中值定理，分別是羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，這三個(gè)中值定理互為補(bǔ)充，再配合表格圖形，對(duì)函數(shù)f(x)的研究如庖丁解牛一般準(zhǔn)確。

　　先看羅爾定理;設(shè)函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[]a，b上連續(xù)。(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。(3)若有f(a)=f(b)。則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0。

　　我們認(rèn)真解讀一下羅爾定理，羅爾定理的前二個(gè)條件是函數(shù)連續(xù)，或有可去間斷點(diǎn)，第三個(gè)條件是重點(diǎn)，函數(shù)只要有兩處函數(shù)值相等，那么在連續(xù)函數(shù)f(x)中就存在著極值點(diǎn)，通過f'(ξ)=0把所有的極值點(diǎn)找出來，就確定了函數(shù)增減區(qū)間的分界點(diǎn)。這些點(diǎn)分布在坐標(biāo)軸上就是函數(shù)的區(qū)間分界點(diǎn)。

　　我們找到了增函數(shù)和減函數(shù)的區(qū)間以后，如何判斷區(qū)間內(nèi)函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)呢?拉格朗日中值定理給予了很好的回答。拉格朗日中值定理:設(shè)函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[]a，b上連續(xù)。(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=f(b)-f(a)b-a。在f'(4ξ)=f(b)-f(a)b-a中，ba，若f(b)f(a)，則函數(shù)單調(diào)增，反之，函數(shù)單調(diào)減。拉格朗日還給我們提供了一種思路，若在一段區(qū)間內(nèi)函數(shù)都是增函數(shù)，我們就可以用求導(dǎo)的總法來求解函數(shù)中的不等式和恒等式。例如，證明當(dāng)x1時(shí)，exex。

　　這類題目在中學(xué)數(shù)學(xué)中是難題，而應(yīng)用拉格朗日中值定理，我們只需設(shè)f(x)=ex-ex，在(1，")內(nèi)f(x)單調(diào)遞增即可。證明過程如下。證明:設(shè)f(x)=ex-ex，f(1)=e1-e1=0。又f'(x)=ex-e，e=2．71，∴exe，f'(x)0，f(x)0，exex。我們可以利用中值定理，通過表格來清楚地知道函數(shù)的增減區(qū)間和增減的性質(zhì)。

　　3五個(gè)函數(shù)貫穿三種計(jì)算方法之中

　　在高等數(shù)學(xué)中有五個(gè)基本初等函數(shù)貫穿始終，這五個(gè)基本初等函數(shù)是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。高等數(shù)學(xué)課程看起來問題多，思緒復(fù)雜，但貫穿整體的就是這五個(gè)基本初等函數(shù)及其組合而成的復(fù)合函數(shù)在極限運(yùn)算中、微分運(yùn)算中、積分運(yùn)算中的應(yīng)用和變化。我們學(xué)習(xí)者掌握了這條主線后就可以在學(xué)習(xí)中進(jìn)行比較，使學(xué)習(xí)變得簡單起來。

　　五個(gè)基本函數(shù)在極限和微分運(yùn)算中較為簡單，不多重復(fù)，在分部積分法中有兩兩相乘的積分情況。u(x)v(x)dx=u(x)v(x)－v(x)du(x)它主要的方法和技巧就是把較難的積分u(x)dv(x)轉(zhuǎn)化為容易積分的v(x)du(x)，這不是一種偷梁換柱的耍滑頭，而是在工作中用簡單的技巧代替復(fù)雜的困難，是一種智慧，也是一種工作能力的體現(xiàn)。

　　分部積分法的關(guān)鍵是u(x)和dv(x)的認(rèn)識(shí)和分配，做好了事半功倍，開卷有益，一舉拿下，用得不好，則難上加難，雪上加霜。

　　此處如何選擇呢?有個(gè)非常簡單的口訣，三指動(dòng)，反對(duì)不動(dòng)，三指相遇，循環(huán)決定。

　　4高等數(shù)學(xué)習(xí)題本質(zhì)上是邏輯能力的培養(yǎng)

　　高等數(shù)學(xué)課在本質(zhì)上也是一門習(xí)題課，我們有些學(xué)生上課聽得懂課，下課也會(huì)教其他學(xué)生，但是考試起來就會(huì)出錯(cuò)。追究其原因，主要是缺乏練習(xí)。數(shù)學(xué)課程只有練習(xí)才會(huì)。多練才能出彩，如果懂了原理而缺乏練習(xí)，最終結(jié)果還是不會(huì)。

　　高等數(shù)學(xué)的習(xí)題其實(shí)質(zhì)上是一種邏輯思維的鍛煉，習(xí)題過程是一種語言模式，一行一行的作業(yè)過程寫下來，讓看作業(yè)的老師和同學(xué)看懂了，理解了，其中的邏輯關(guān)系一定要正確，邏輯思維我們都能接受。

　　我們的高校，有很多學(xué)校沒有開設(shè)邏輯課程，我們大學(xué)生的邏輯能力大部分是從高等數(shù)學(xué)的習(xí)題練習(xí)而來。

　　數(shù)學(xué)練習(xí)的格式是一種邏輯推理，在高等數(shù)學(xué)中有時(shí)候遇到一些較難解決的題目時(shí)則要運(yùn)用一些特殊的方法，例如構(gòu)造法來解題。現(xiàn)舉二例。

　　5應(yīng)用數(shù)學(xué)建模來促進(jìn)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力

　　高等數(shù)學(xué)不是大學(xué)生在大學(xué)的象牙塔里玩的數(shù)字游戲，我們要把生活中的數(shù)學(xué)引入到他們的學(xué)習(xí)之中，讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)之中會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，提高和促進(jìn)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。我們由淺而深的介紹兩種建立數(shù)學(xué)模型的例子。

　　(1)鐵路錢上AB段的距離為100公里，工廠C在距A20公里處，AC垂直于AB，為了運(yùn)輸需要，要在AB錢上選定一上D修筑一條公路，已知鐵路與公路每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3∶5，為了使產(chǎn)品從工廠運(yùn)到消費(fèi)點(diǎn)B的運(yùn)費(fèi)最省，問D點(diǎn)應(yīng)選在何處?解:畫圖略設(shè)D點(diǎn)在AB鐵路上，D距A點(diǎn)x公里處。依題意有，BD=100-x，CD=202槡+x2。設(shè)總的運(yùn)費(fèi)為W，則鐵路運(yùn)費(fèi)為3K，公路運(yùn)費(fèi)為5K(K為常數(shù))。則w=3k(100－x)+5k202槡+x2(0!x!100)。求W的最小值，只需令W的導(dǎo)數(shù)=0。有W'=-3k+5kxx2槡+400=0得x=15km，W(0)=400k，W(15)=380k，W(100)=5k1002槡+202，從而當(dāng)x=15時(shí)，W最小。我們可以選擇2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的D題為例。D:在公共自行車的服務(wù)系統(tǒng)中，自行車的租賃的站點(diǎn)位置及各站點(diǎn)自行車鎖樁和自行車數(shù)量的配置。現(xiàn)為浙江省溫州市鹿城區(qū)公共自行車管理中心的20天借車和還車的數(shù)據(jù)。在所給出的所有站點(diǎn)每天車輛借還情況的已知數(shù)據(jù)中，分別統(tǒng)計(jì)出每一個(gè)站點(diǎn)每天的借還車頻次和每一個(gè)站點(diǎn)的20天的總的借還車頻次;其次對(duì)所有站點(diǎn)的20天的總的借還車頻次的多少排序;最后對(duì)每次用車的時(shí)間作統(tǒng)計(jì)并分析出其分布情況。

　　(2)從已給出的數(shù)據(jù)中，統(tǒng)計(jì)20天中每天使用不同借車卡的數(shù)量，并統(tǒng)計(jì)每張借車卡所累計(jì)借車次數(shù)的分布情況。

　　(3)利用所給數(shù)據(jù)找出所有站點(diǎn)使用公共自行車數(shù)最大的一天。①定義兩個(gè)站點(diǎn)之間的距離，找出自行車借車后還車之間距離最短的站點(diǎn)和距離最長的站點(diǎn)。即用時(shí)最少的兩個(gè)站和用時(shí)最長的兩個(gè)站;其次統(tǒng)計(jì)出借還車在同一站點(diǎn)且用時(shí)超過一分鐘的情況。②統(tǒng)計(jì)出借還車頻次最多的站點(diǎn)并對(duì)借車還車時(shí)刻和使用時(shí)間長短作出分布圖。③找出各站點(diǎn)的借車和還車高峰時(shí)段，列表出高峰時(shí)段各站點(diǎn)的借車頻次和還車頻次;并且歸類出具有共同借車和還車高峰時(shí)段的站點(diǎn)。

　　(4)利用統(tǒng)計(jì)結(jié)果中的信息，提出對(duì)目前公共自行車服務(wù)系統(tǒng)站點(diǎn)的設(shè)置和鎖樁數(shù)量的配置的建議。

　　(5)找出公共自行車系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律，并對(duì)此提出改進(jìn)建議。

　　6結(jié)語

　　這個(gè)題目限于篇幅我們就不展開討論了。筆者從2005年開始帶領(lǐng)學(xué)生參加大專組的數(shù)學(xué)建模比賽，大專組數(shù)學(xué)建模比賽主要做C題和D組，兩個(gè)題目中一個(gè)題是希望學(xué)生利用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行解題，一個(gè)題是希望學(xué)生從優(yōu)化角度進(jìn)行解題。兩個(gè)題都要進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，兩個(gè)題中的每個(gè)小問題又牽涉許多小模塊的數(shù)據(jù)知識(shí)點(diǎn)。例如插值，進(jìn)行預(yù)估的最小二乘法，線性回歸補(bǔ)充某個(gè)數(shù)，兩個(gè)量的比較，期望值的求法，等等，學(xué)生們只要在論文中對(duì)題目中的知識(shí)點(diǎn)有所回應(yīng)，有所計(jì)算，都可以取得不錯(cuò)的成績。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽應(yīng)用性強(qiáng)，起點(diǎn)高，拓寬視野，有利于三人團(tuán)隊(duì)合作，真的是一次參賽，學(xué)生終生受益。

　　參考文獻(xiàn):

　　［1］閆振榮．如何處理微積分中的分部積分法．教育教學(xué)研究論叢，1999:159-160．

　　［2］許克威．應(yīng)用構(gòu)法解決疑難題．大學(xué)時(shí)代，2008(11):58-59

　　許克威