【摘要】正送走新春的聲聲爆竹，以“系統(tǒng)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、正確理解基本概念、深刻體會(huì)基本思想、靈活運(yùn)用基本方法”為主旨的一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，高三數(shù)學(xué)進(jìn)入了二輪復(fù)習(xí)階段.

　　【關(guān)鍵詞】高三數(shù)學(xué); 模塊化; 系統(tǒng)化

　　學(xué)生在經(jīng)過(guò)了一輪模塊化、系統(tǒng)化的復(fù)習(xí)后，終于進(jìn)入了二輪復(fù)習(xí)，但在二輪復(fù)習(xí)中許多學(xué)生反映二輪復(fù)習(xí)中的題目比一輪復(fù)習(xí)中的難，甚至有時(shí)候拿到題目根本無(wú)從下手.

　　筆者就本學(xué)期一節(jié)高三理科二輪復(fù)習(xí)的課堂教學(xué)作一小結(jié)與反思.

　　課堂教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)單記錄如下:

　　師: 請(qǐng)同學(xué)們看一下附加題部分的第 23 題.題目如下: 23. 已知數(shù)列{ an } 滿足: a1 = 1，對(duì)任意的 n∈ N* ，都有 an + 1 = a + 1 n2 ( ) + n an + 1 2n .

　　( 1) 求證: 當(dāng) n≥2 時(shí)，an≥2;

　　( 2) 利用“x > 0，ln( 1 + x) < x”，證明: an < 2e 3 4 ( 其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) .

　　好的，那么請(qǐng)一名同學(xué)上黑板前來(lái)，板 演 一 下 解 答過(guò)程.

　　師: 再給同學(xué)們幾分鐘思考一下第( 2) 問(wèn)，思考一下你能想到哪些方法或者模型對(duì)解答該題有幫助的. 不一定要有完整的思路，先要一個(gè)想法.

　　生甲: 該題要證: an < 2e 3 4 ，從正面直接入手不易，鑒于第一問(wèn)中已經(jīng)使用了數(shù)學(xué)歸納法證明，易知第二問(wèn)中證明不會(huì)采用數(shù)學(xué)歸納法證明. 同 時(shí)，借 助 于 條 件“x > 0， ln( 1 + x) < x”，可以想象到該題應(yīng)該與自然對(duì)數(shù) e 建立起關(guān)系，故而即可證明 ln an 2 < 3 4 即可.

　　師: 剛才甲同學(xué)說(shuō)得不錯(cuò)，尤其是他說(shuō)不會(huì)采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明的原因.

　　這時(shí)候有幾個(gè)比較優(yōu)秀的學(xué)生回答道: 用放縮法，教師順勢(shì)請(qǐng)了其中一位同學(xué)回答.

　　生丙: 采用放縮法，易知 1 2n 不可舍去，故而可以將其一并并入 1 + 1 n2 + n 中，構(gòu)造如下不等式: “an + 1 = 1 + 1 n2 ( ) + n an + 1 2n ≤ 1 + 1 n2 + n + 1 ( ) 2n an”.

　　其余學(xué)生們聽得津津有味，而且很贊成此種做法，雖然這種做法不對(duì)，但是教師沒有給予否定，而是沿著學(xué)生的思路( 1) 開始了規(guī)范證明的板書.板書內(nèi)容大致如下:

　　思路 ∵ an +1 = 1 + 1 n2 ( ) + n an + 1 2n ≤ 1 + 1 n2 + n + 1 ( ) 2n an ( n≥1) ， ∴ an + 1 an ≤1 + 1 n2 + n + 1 2n ， an +1 = 1 + 1 n2 ( ) + n an + 1 2n < 1 + 1 n2 + n + 1 ( ) 2n an ( n≥2) ， ∴ an + 1 an < 1 + 1 n2 + n + 1 2n ， lnan + 1 - lnan < ln 1 + 1 n2 + n + 1 ( ) 2n < 1 n2 + n + 1 2n = 1 n( n + 1) + 1 2n ( n≥2) ， ∴ lna3 - lna2 < 1 2 × 3 + 1 22 ， lna4 - lna3 < 1 3 × 4 + 1 23 ， …… lnan - lnan - 1 < 1 ( n - 1) n + 1 2n - 1 ( n≥3) ， ∴ lnan - lna2 < 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + … + 1 ( n - 1) n + 1 22 + 1 23 + … + 1 2n - 1 = 1 2 - 1 n + 1 4 · 1 - 1 2n - 1 1 - 1 2 = 1 - 1 n - 1 2n - 1 < 1 ( n≥3) ， ∴ ln an 2 < 1，即 an < 2e.

　　此時(shí)，很多學(xué)生在發(fā)出感嘆的時(shí)候，感覺自己已經(jīng)無(wú)能為力了.做到這里的時(shí)候，學(xué)生原本以為結(jié)論會(huì)被證明完成，再一次感到惋惜，同時(shí)大家對(duì)于該題的討論也開始越來(lái)越多，發(fā)現(xiàn)結(jié)論的范圍一步步地在逼近了，因此，教師繼續(xù)給予學(xué)生思考時(shí)間，鼓勵(lì)他們?nèi)L試.

　　課后反思:

　　本節(jié)課結(jié)束后，教師詢問(wèn)一些學(xué)生，對(duì)于該題的做前思考，以及做后感悟. 學(xué)生一致反映該題的確是“好題”，估計(jì)學(xué)生口中的“好題”有兩層意思，一是該題形式新穎，構(gòu)造巧妙，思維得到了拓展，二是學(xué)生真正了解了解題思路，領(lǐng)會(huì)了思考方式，以及掌握了解決問(wèn)題的方法.

　　【參考文獻(xiàn)】

　　[1]王大績(jī). 二輪復(fù)習(xí)法提前看[J]. 高校招生，2009 ( 2) : 86 - 90.

　　[2]戴偉生. 高考備考二輪復(fù)習(xí)中測(cè)評(píng)課教學(xué)原則及策略[J]. 生命世界，2009( 3) : 103 - 104.