論文《一種新型量子秘密共享方案》發表在《北京電子科技學院》，本文僅共展示，來自網絡平臺。

　　摘要：本文基于星型簇態的高度糾纏性和靈活拓撲結構設計了一種新型量子秘密共享方案，通過量子信道和經典信道的結合，確保秘密信息在多方之間的安全傳輸，實現了經典秘密和量子秘密的安全共享。在經典秘密共享方面，方案通過Pauli-Z和Pauli-X測量生成子密鑰，并通過異或操作生成加密密鑰，確保只有所有代理合作才能恢復明文。在量子秘密共享方面，方案通過Bell基測量和局域量子操作，確保只有指定的代理能夠恢復出原始的量子態。該方案的創新之處在于支持多比特的擴展共享，進一步提高了系統的可擴展性;同時，該方案可在量子信道中根據實際應用需求對網絡中的用戶端實施增加或刪除操作，增強了方案的靈活性。分析表明，該方案能夠有效抵御非法竊聽者的攔截-重發攻擊和糾纏-測量攻擊，同時也能避免合法參與者的共謀攻擊。

　　關鍵詞：量子密碼;秘密共享;量子糾纏;局域操作

　　中圖分類號：TN918

　　文獻標識碼：A

　　文章編號：1672-464X(2025)2-21-30

　　1 引言

　　量子保密通信起源于20世紀60年代，Wiesner提出了通過量子物理實現不可偽造量子貨幣的概念，并在文獻[1]中詳細描述了利用偏振光子存儲和傳輸信息的方式。受到Wiesner的啟發，Bennett和Brassard[2]發現，通信雙方可使用適當的偏振光子在不安全的信道上生成一個加密密鑰，這也正是如今廣為人知的Bennett-Brassard1984(BB84)量子密鑰分發(Quantum Key Distribution, QKD)協議，標志著量子密碼學的開始。此后，諸多量子保密通信協議問世，這些協議大致可以分為四個主要分支：量子密鑰分發協議[3]、量子隱形傳態(Quantum Teleportation, QT)協議[4]、量子秘密共享(Quantum Secret Sharing, QSS)協議[5]和量子安全直接通信(Quantum Secure Direct Communication, QSDC)協議[6]。量子保密通信的安全性基于量子力學定律，而非基于數學難題，因此，其優勢在于：即使出現具有無限算力的竊聽者Eve，也能保證通信系統的安全。量子保密通信另一重要優勢在于可以與一次一密(One-Time Pad, OTP)[7]相結合，充分利用一次一密的“只要密鑰是隨機均勻、不被重用的，密文信息就不會泄露”的特點，實現即使竊聽者Eve截獲密文，也無法在沒有密鑰的情況下恢復出明文，從而為通信提供理論上的無條件安全。

　　1999年，Hillery等人[5]提出了最初的量子秘密共享方案，利用三量子和四量子糾纏的Greenberger-Horner-Zeilinger(GHZ)態，在所有參與者共同協作的情況下，在多個參與者之間共享一個隨機比特。2004年，Xiao等人[8]擴展了Hillery等人提出的方案框架，通過非對稱選擇測量基以適應多方參與的場景。此后，諸多一對多量子秘密共享協議被提出[9-18]。2005年，Yan和Gao提出了一種開創性的利用單量子的多對多量子秘密共享協議[9]。2008年，Yang和Wen提出了一種針對單量子序列的量子秘密共享方案[10]，適用于兩個參與人數可能不同的小組協作重構秘密的情況。2010年，Shi等人提出了一種基于Bell態的多對多量子秘密共享協議[11]，參與者通過Bell態測量推導共享密鑰。2011年，Yang等人提出了允許調整參與者的動態量子秘密共享協議[12]，但該協議是資源密集型的。此后也涌現了若干具有不同功能特點的支持網絡動態調整參與者的量子秘密共享協議[13-18]。

　　2023年，Yang等人借助于通過對鏈式簇態進行局域Pauli-X測量和局域Pauli-Z測量得到的一種多量子糾纏態——星型簇態[19]，提出了一種基于具有分級結構的星型簇態的動態分級量子秘密共享協議[18]用以共享彼此正交的量子秘密，可實現參與者的增加和刪除、升級和降級，并能根據參與者的等級分配不同的份額信息。受此啟發，在現有量子秘密共享的研究基礎上，本文基于星型簇態的拓撲結構，利用其高度糾纏特性設計了一種新型量子秘密共享協議，給出了利用該方案共享經典秘密與量子秘密的具體流程，完成了方案的安全性分析與秘密共享效率計算。

　　基金項目：中央高校基本科研業務費資金資助(課題編號:3282024026);supported by “the Fundamental Research Funds for the Central Universities”(Grant Number:3282024026);北京電子科技學院碩士精品示范課程項目“量子密碼”。

　　作者簡介：周睿雅(2003-)，女，本科生在讀，研究方向為密碼與信息安全;鄭潤芃(2003-)，女，本科生在讀，研究方向為密碼與信息安全;孫瑩(1982-)，女，副教授，研究方向為量子保密通信協議與現代密碼理論;劉昂(1988-)，男，工程師，研究方向為量子安全多方計算與區塊鏈安全。

　　2 方案設計

　　本文采用如式(1)所示的由一個中心量子比特A和n個相鄰的兩量子比特臂(B_{i}A_{i}(i=1,2,cdots,n))構成的星型簇態[19](|C_{n}>_{AB_{1}A_{1}cdots B_{n}A_{n}})構建安全的量子信道完成秘密共享。

　　2.1 注冊階段

　　2.1.1 信道建立

　　Alice制備N個((2n+1))量子星型簇態分別記為

　　其中，(i=1,2,cdots,N)。

　　Alice保留量子(A_{i},A_{i1},cdots,A_{in})，將量子(B_{i1},cdots,B_{in}(i=1,2,cdots,N))分別發送給(Bob_{1},cdots,Bob_{n})。

　　2.1.2 竊聽檢測

　　對上述基于星型簇態制備的量子信道進行竊聽檢測，無需引入任何新的量子資源。具體步驟如下：

　　Alice對所持有的量子(A_{i})隨機進行Pauli-Z或Pauli-X測量，(i=1,2,cdots,n)，Alice依序記錄上述n次量子測量結果。(Bob_{1},cdots,Bob_{n})也分別對所持有的量子(B_{1},cdots,B_{n})隨機進行Pauli-Z或Pauli-X測量，(Bob_{1},cdots,Bob_{n})依序分別記錄上述n次量子測量結果，并通過經典信道通知Alice自己選用的測量基和測量結果。

　　Alice依序比較自己選用的測量基和收到的(Bob_{1},cdots,Bob_{n})的測量基，若測量基選用情況符合表1，則說明該位選用了正確的測量基，保留該位的測量結果。

　　Alice核對比較自己的測量結果和保留的(Bob_{1},cdots,Bob_{n})的測量結果，若(Bob_{1},cdots,Bob_{n})的測量結果均正確或誤碼率未超過信道噪聲可能造成的錯誤閾值，可視作此量子信道沒有遭到Eve竊聽。到此，基于星型簇態的量子信道建立完成。

　　注意，進行上述竊聽檢測的量子態數量應不少于和(Bob_{1},cdots,Bob_{n})之間共享的全部星型簇態數量的50%，確保用于竊聽檢測的樣本足夠大，統計結果可靠。若所有完成竊聽檢測的信道錯誤率均未超過閾值時，則認為信道中星型簇態被安全共享，可以繼續執行協議的其他步驟。

　　2.1.3 用戶管理

　　2.1.3.1 增加用戶

　　假設想要增加(Bob_{n+1})到(Bob_{1},cdots,Bob_{n})中，因此要在已安全共享的星型簇態(|C_{n}>_{AB_{1}A_{1}cdots B_{n}A_{n}})的基礎上，制備一個三量子線性簇態

　　Alice對所持有的量子對((A,A'))進行C-Z門操作，其中A為控制量子比特、(A')為目標量子比特，得到

　　Alice接著對量子(A')進行局域測量，測量后，信道內剩余量子坍縮狀態用(|C_{n+1}>_{AB_{1}A_{1}cdots B_{n+1}A_{n+1}})表示。

　　Alice對所持有的量子(A_{n+1})進行相應的量子局域操作后，整個系統狀態可以由下式描述：

　　2.1.3.2 刪除用戶

　　假設想要從(Bob_{1},cdots,Bob_{n})中刪除(Bob_{j})，(jin{1,2,cdots,n})，因此要在已安全共享的星型簇態(|C_{n}>_{AB_{1}A_{1}cdots B_{n}A_{n}})的基礎上對量子(A_{j})進行局域Pauli-Y測量，測量后，信道內剩余量子坍縮狀態用(|C_{n-1}>_{AB_{1}A_{1}cdots B_{j-1}A_{j-1}B_{j+1}A_{j+1}cdots B_{n}A_{n}})表示。

　　量子對((A_{j},B_{j}))從量子態(|C_{n}>_{AB_{1}A_{1}cdots B_{n}A_{n}})中解糾纏，根據圖態局域Pauli測量規則，整個系統演化為如下狀態

　　2.2 經典比特的秘密共享方案

　　2.2.1 單比特方案設計

　　2.2.1.1 分發階段

　　假設要分享比特消息M給(Bob_{1},cdots,Bob_{n})。Alice對持有的量子A和(A_{i}(i=1,2,cdots,n))均進行Pauli-Z測量或隨機選擇一個進行Pauli-Z測量、另一個進行Pauli-X測量，并依據表2通過經典信道通知(Bob_{i})應選用的測量基。(Bob_{i})對所持有的量子(B_{i})進行測量后用測量結果生成(Bob_{i})的子密鑰(k_{i})，若測量出的量子態為|0>或|+>，記(k_{i}=0);若測量出的量子態為|1>或|-，記(k_{i}=1)。

　　2.2.1.2 重構階段

　　對于A、(A_{i})、(B_{i}(i=1,2,cdots,n))三個量子，隨機對其中兩個進行Pauli-Z測量、另一個進行Pauli-X測量，測量出的量子態唯一確定。因此，Alice只要測量了A、(A_{i})這兩個量子就能知道量子(B_{i})的量子態并獲知(Bob_{i})的子密鑰(k_{i})。

　　Alice對(Bob_{1},cdots,Bob_{n})的子密鑰(k_{1},cdots,k_{n})進行異或操作得到加密密鑰(K_{C}=k_{1}opluscdotsoplus k_{n})。加密明文M，得到密文(C=K_{C}oplus M=k_{1}opluscdotsoplus k_{n}oplus M)。假設選定(Bob_{1})為最終恢復出明文的參與者，Alice通過經典信道將密文C分享給(Bob_{1})。

　　(Bob_{2},cdots,Bob_{n})對子密鑰(k_{2},cdots,k_{n})進行異或操作，將計算結果通知(Bob_{1})，(Bob_{1})將子密鑰(k_{1})和上述計算結果進行異或操作得到解密密鑰(K_{M}=k_{1}opluscdotsoplus k_{n})。解密密文C，得到明文(M'=K_{M}oplus C=k_{1}opluscdotsoplus k_{n}oplus k_{1}opluscdotsoplus k_{n}oplus M=M)，即得到Alice想要分享的1比特消息。

　　2.2.2 多比特方案設計

　　2.2.2.1 分發階段

　　假設要分享m比特消息M。對m個星型簇態均做上述量子測量操作，得到n個m比特01串，即為生成的(Bob_{1},cdots,Bob_{n})的子密鑰串。Alice能夠知道所有量子(B_{i})的測量結果并獲知(Bob_{1},cdots,Bob_{n})的子密鑰串(k_{1}',cdots,k_{n}')。

　　2.2.2.2 重構階段

　　Alice對(Bob_{1},cdots,Bob_{n})的子密鑰串(k_{1}',cdots,k_{n}')進行異或操作得到加密密鑰(K_{C}'=k_{1}'opluscdotsoplus k_{n}')。加密明文M，得到密文(C=K_{C}'oplus M=k_{1}'opluscdotsoplus k_{n}'oplus M)。假設選定(Bob_{1})為最終恢復出明文的參與者，Alice通過經典信道將密文C分享給(Bob_{1})。

　　(Bob_{2},cdots,Bob_{n})對子密鑰(k_{2}',cdots,k_{n}')進行異或操作，將計算結果通知(Bob_{1})，(Bob_{1})將子密鑰(k_{1}')和上述計算結果進行異或操作得到解密密鑰(K_{M}'=k_{1}'opluscdotsoplus k_{n}')。解密密文C，得到明文(M'=K_{M}'oplus C=k_{1}'opluscdotsoplus k_{n}'oplus k_{1}'opluscdotsoplus k_{n}'oplus M=M)，即得到想要分享的m比特消息。

　　2.3 量子比特的秘密共享方案

　　2.3.1 單量子比特方案設計

　　2.3.1.1 分發階段

　　假設Alice要分享1量子比特的秘密量子態(|varphi>_{a}=alpha|0>+eta|1>)給(Bob_{1},cdots,Bob_{n})，其中(|alpha|^{2}+|eta|^{2}=1)。

　　Alice首先通過經典信道通知(Bob_{i}(i=1,2,cdots,n))對所持有的星型簇態中的量子(B_{i})進行H門操作，定義該操作(U=I_{a}otimes I_{A}otimes H_{B_{1}}otimes I_{A_{1}}otimescdotsotimes H_{B_{n}}otimes I_{A_{n}})，得到

　　假設選定(Bob_{1})為最終恢復出量子態的參與者，對所持有的量子對((a,A_{j}))進行C-NOT門操作，其中a為控制量子比特，(A_{j})為目標量子比特，(j=2,3,cdots,n)，得到

　　Alice對量子((a,A_{1}))進行Bell基測量，測量后，系統內剩余量子坍縮狀態(|psi'''>_{AB_{1}B_{2}A_{2}cdots B_{n}A_{n}})如表3所示。接著對量子(A_{j}(j=2,3,cdots,n))進行測量，系統內剩余量子坍縮狀態用(|psi''''>_{AB_{1}cdots B_{n}})表示，記錄和妥善保存上述n次量子測量結果。

　　2.3.1.2 重構階段

　　若允許(Bob_{1})在此之后恢復出量子態，即Alice想要繼續本秘密共享協議，其需要通過經典信道將上述n次量子測量結果分享給(Bob_{1},cdots,Bob_{n})，并對量子A進行測量，系統內剩余量子坍縮狀態用(|psi'''''>_{B_{1}cdots B_{n}})表示。

　　(Bob_{2},cdots,Bob_{n})分別對持有的量子(B_{2},cdots,B_{n})進行Pauli-X測量，并通過經典信道將量子測量結果發送給(Bob_{1})。

　　(Bob_{1})對收到的量子測量結果進行分類統計，當收到的測量結果為|-〉的數量是奇數時，(Bob_{1})所持有的量子(B_{1})塌縮狀態為(|psi'''''>_{B_{1}}=alpha|0>-eta|1>);當收到的測量結果為|-〉的數量是偶數時，(Bob_{1})所持有的量子(B_{1})塌縮狀態為(|psi'''''>_{B_{1}}=alpha|0>+eta|1>)。

　　(Bob_{1})依據收到的量子測量結果對量子(B_{1})的量子態(|psi'''''>_{B_{1}})進行相應的幺正變換，即恢復出Alice想要分享的秘密量子態(|varphi>)。

　　2.3.2 多量子比特方案設計

　　2.3.2.1 分發階段

　　假設要分享一個m量子比特的秘密量子態(|varphi'>_{a_{1}a_{2}cdots a_{m}}=alpha|0cdots0>+eta|1cdots1>)，其中(|alpha|^{2}+|eta|^{2}=1)。系統初態為

　　Alice首先通過經典信道通知(Bob_{i}(i=1,2,cdots,n))對所持有的量子(B_{i})進行H門操作，定義該操作(U_{1}=I_{a_{1}}otimes I_{a_{2}}otimescdotsotimes I_{a_{m}}otimes I_{A}otimes H_{B_{1}}otimes I_{A_{1}}otimescdotsotimes H_{B_{n}}otimes I_{A_{n}})，整個量子系統轉化為

　　a) 若(m < n)

　　假設選定(Bob_{1})為最終恢復出量子態的參與者，對所持有的量子對((a_{1},A_{j}))進行CNOT門操作，其中(a_{1})為控制量子比特，(A_{j})為目標量子比特，(j=m+1,m+2,cdots,n)，得到

　　Alice對量子((a_{k},A_{k}))進行m次Bell基測量，(k=1,2,cdots,m)，測量后系統內剩余量子坍縮狀態用(|psi'''>_{AB_{1}B_{2}cdots B_{m+1}A_{m+1}cdots B_{n}A_{n}})表示。Alice接著對量子(A_{j}(j=m+1,m+2,cdots,n))進行(n - m)次測量，系統內剩余量子坍縮狀態用(|psi''''>_{AB_{1}cdots B_{n}})表示，記錄和妥善保存上述n次量子測量結果。

　　b) 若(m = n)

　　假設選定(Bob_{1})為最終恢復出量子態的參與者，對量子((a_{k},A_{k}))進行n次Bell基測量，(k=1,2,cdots,n)，測量后系統內剩余量子坍縮狀態用(|psi'''>_{AB_{1}cdots B_{n}})表示，記錄和妥善保存上述n次量子測量結果。

　　c) 若(m > n)

　　假設選定(Bob_{1})為最終恢復出量子態的參與者，對量子((a_{k},A_{k}))進行n次Bell基測量，(k=1,2,cdots,n)，測量后系統內剩余量子坍縮狀態用(|psi'''>_{a_{n+1}a_{n+2}cdots a_{m}AB_{1}B_{2}cdots B_{n}})表示。Alice接著對量子(a_{j}(j=n+1,n+2,cdots,m))進行(m - n)次Pauli-Z測量，系統內剩余量子坍縮狀態用(|psi''''>_{AB_{1}cdots B_{n}})表示，記錄和妥善保存上述n次量子測量結果。

　　2.3.2.2 重構階段

　　若允許(Bob_{1})在此之后恢復出量子態，即Alice想要繼續本秘密共享協議，其需要通過經典信道將上述n次量子測量結果分享給(Bob_{1},cdots,Bob_{n})，并對量子A進行測量，系統內剩余量子坍縮狀態用(|psi'''''>_{B_{1}cdots B_{n}})表示。

　　(Bob_{2},cdots,Bob_{n})分別對持有的量子(B_{2},cdots,B_{n})進行Pauli-X測量，并通過經典信道將量子測量結果發送給(Bob_{1})。(Bob_{1})依據收到的量子測量結果對量子(B_{1})的量子態(|psi'''''>_{B_{1}})進行相應的幺正變換，并對(m - 1)個初態為|0>的量子進行(m - 1)次CNOT門操作，其中(B_{1})為控制量子比特、|0>為目標量子比特，即恢復出Alice想要分享的秘密量子態(|varphi'>_{a_{1}a_{2}cdots a_{m}})。

　　3 方案分析

　　3.1 安全性分析

　　3.1.1 非法竊聽者攻擊

　　a) 攔截-重發攻擊

　　假設存在竊聽者Eve，在Alice建立信道發送量子的過程中，攔截獲取一個量子，并準備一個假冒量子發送給(Bob_{1},cdots,Bob_{n})中任意的參與者。在竊聽檢測過程中，若參與者選擇使用的測量基與Alice使用的測量基相同，則該測量無效，測量結果被丟棄，Eve的攔截-重發操作沒有引入任何錯誤;若參與者使用的測量基與Alice使用的測量基不同，則該測量有效，Alice根據測量結果判斷量子信道是否遭到竊聽，Eve的攔截-重發操作會以50%的概率引入錯誤。若Eve攔截重發t個量子，則引入錯誤的總概率可表示為(1 - (frac{3}{4})^{t})。顯然當(t o infty)時，此概率值(P = 1 - (frac{3}{4})^{t})趨近于100%。因此，若竊聽者Eve采用攔截-重發攻擊，在檢測樣本足夠大的情況下一定會被檢測到。

　　b) 糾纏-測量攻擊

　　假設存在竊聽者Eve，在Alice建立信道發送量子的過程中，攔截獲取一個發送給某個參與者的量子B，并對該量子進行聯合幺正變換，將其與一個輔助量子(|varepsilon>)糾纏，定義該變換為

　　其中，依據量子態的歸一性，(<varepsilon_{1}|varepsilon_{1}> + <varepsilon_{2}|varepsilon_{2}> = 1)，(<varepsilon_{3}|varepsilon_{3}> + <varepsilon_{4}|varepsilon_{4}> = 1);依據量子態的正交性，(<varepsilon_{1}|varepsilon_{2}> = <varepsilon_{3}|varepsilon_{4}> = 0);依據量子跨組態的正交性，(<varepsilon_{1}|varepsilon_{3}> = <varepsilon_{2}|varepsilon_{4}> = 0)。Eve測量輔助量子(|varepsilon>)，量子B保持原狀態的概率：

　　由于量子B和輔助量子(|varepsilon>)處于糾纏態，(<varepsilon_{3}|varepsilon_{2}> eq 0)，(P_{nd}(|+>) < 1)，(P_{nd}(|->) < 1)，因此，若竊聽者Eve采用糾纏-測量攻擊，則同樣能夠被檢測到。

　　3.1.2 合法參與者攻擊

　　a) 竊聽攻擊

　　假設存在參與者(Bob_{t})是不誠實的參與者，想要竊取秘密信息。若(Bob_{t})在建立信道發送量子的過程中，攔截獲取發送給其它參與者的量子，則攻擊情況同非法竊聽者Eve的攔截-重發攻擊，能夠被檢測。若(Bob_{t})在(Bob_{1},cdots,Bob_{n})重構秘密的過程中，試圖獲知其它參與者對持有的量子B進行單量子測量的結果，但由于測量結果為|0>和|1>、|+>和|-〉是隨機的，(Bob_{t})無法依據自己的測量結果推斷其它參與者的測量結果，因此，既無法得到Alice想要分享的經典比特消息，也無法恢復出Alice想要分享的未知量子態(|varphi>)。綜上所述，合法參與者的竊聽攻擊無法成功。

　　b) 共謀攻擊

　　假設存在t個參與者，(t < n)，在(Bob_{1},cdots,Bob_{n})重構秘密的過程中實施共謀攻擊。若這t個不誠實參與者企圖共謀重構經典比特秘密，解密密鑰(K_{M}=k_{1}opluscdotsoplus k_{n})。但由于Alice的測量結果是隨機的，且每個參與者的兩量子比特臂相互獨立，因此任何t個參與者都不能共謀獲知所有的子密鑰k，無法恢復出解密密鑰(K_{M})，無法得到Alice想要分享的經典比特消息;若t個不誠實的Bob共謀重構量子比特秘密，需要依據收到的量子測量結果對量子態(|psi'''>_{B_{1}})進行幺正變換，由于Alice的測量結果是隨機的，且每個參與者的兩量子比特臂相互獨立，因此，任何t個參與者都不能共謀獲知由除最終恢復出量子態之外的參與者持有的量子B的測量結果，無法分類統計測量結果為|-〉的數量是奇數還是偶數，也就無法確定地恢復出Alice想要分享的未知量子態(|varphi>)。綜上所述，合法參與者的共謀攻擊無法成功。

　　3.2 效率分析

　　3.2.1 共享經典比特

　　經典比特的秘密共享方案由(2n + 1)個量子構成的星型簇態實現。每共享1比特經典秘密，需要進行(2n + 1)次Pauli測量，同時輔以(2n + 1)比特經典通信。

　　定義經典比特共享效率

　　3.2.2 共享量子比特

　　量子比特的秘密共享方案由(2n + 1)個量子構成的星型簇態實現。每共享1比特量子秘密，需要進行1次Bell基測量、(n)次Pauli-Z測量、(n - 1)次Pauli-X測量、(n)次H門操作、(n - 1)次C-NOT門操作和1次單量子幺正變換，同時輔以(2n + 1)比特經典通信。

　　類似地，定義量子比特共享效率

　　當共享多量子比特時，若(m < n)，需要進行(m)次Bell基測量、(n - m + 1)次Pauli-Z測量、(n - 1)次Pauli-X測量、(n)次H門操作、(n - m)次C-NOT門操作和1次單量子幺正變換，輔以(2n + m)比特經典通信，共享效率可表示為

　　若(m > n)，需要進行(n)次Bell基測量、(m - n + 1)次Pauli-Z測量、(n - 1)次Pauli-X測量、(n)次H門操作和1次單量子幺正變換，輔以(2n + m)比特經典通信，共享效率可表示為

　　3.3 對比研究

　　為了更好地說明本文所提方案的優勢，下面選取了兩個相關的協議進行比較(如表4所示)。其中文獻[14]選用了最典型的雙量子最大糾纏態Bell態和常見的環形拓撲結構，與本文方案在協議執行過程中均采用了Bell基測量;文獻[18]與本文選用了相同的簇態與網絡拓撲結構。以上兩個方案與本文方案同樣具備動態操作能力和高可擴展性，均具有典型的意義。

　　本文提出的秘密共享方案中關于量子秘密的共享效率如圖1所示。從圖中可以看出，當固定共享量子比特數m時，共享效率η與參與者數量n負相關，隨著n增大，共享效率η逐漸減小;反之，當固定參與者數量n時，共享效率η與共享比特數m正相關，m增大，共享效率η隨之增大，但整體上參與者數量n對于方案共享效率η的影響相對更大。

　　(圖1 方案共享效率與參與者數量、共享量子比特數的關系)

　　4 結論

　　本文結合量子信道與經典信道，基于星型簇態的糾纏特性，提出了一種新型量子秘密共享方案，通過協議構建的量子信道實現了經典秘密和量子秘密的安全多方共享，分別描述了單比特秘密共享和多比特秘密共享的過程，展示了方案在復雜量子系統中的高可擴展性;同時，方案充分利用星型簇態具有良好拓撲結構的特點，允許在共享網絡中動態地進行用戶增加或刪除操作，能夠適應不同的應用場景，具有較強的實用性與靈活性。

　　通過分析可知，本方案具有良好的安全性，能夠同時抵御來自非法竊聽者和合法參與者帶來的多種攻擊;在具備高可操作性的基礎上，還具有相對較高的通信效率。

　　參考文獻

　　[1] Wiesner S. Conjugate coding[J]. ACM SIGACT News, 1983(15), 1:78-88.

　　[2] Bennett C H, Bessette F, Brassard G, Salvail L, Smolin J. Experimental quantum cryptography[J]. Cryptology, 1992(5), 1:3-28.

　　[3] Bennett C H, Brassard G. Quantum cryptography: public key distribution and coin tossing[C]. International Conference on Computer System and Signal Processing, IEEE, 1984.

　　[4] Bennett C H, Brassard G, Crepeau C, Jozsa R, Peres A, Wootters W K. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels[J]. Physical Review Letters, 1993(70), 13:1895-1899.

　　[5] Hillery M, Buzek V, Berthiaume A. Quantum secret sharing[J]. Physical Review A, 1999, 59:1829-1834.

　　[6] Long G L, Liu X S. Theoretically efficient high-capacity quantum-key-distribution scheme[J]. Physical Review A, 2002, 65:032302.

　　[7] Armanuzzaman M, Alam K M R, Hassan M M, Morimoto Y. A secure and efficient data transmission technique using quantum key distribution[C]. International Conference on Networking, Systems and Security, IEEE, 2017.

　　[8] Xiao L, Long G L, Deng F G, Pan J W. Efficient multiparty quantum-secret-sharing schemes[J]. Physical Review A, 2004, 69:052307.

　　[9] Yan F L, Gao T. Quantum secret sharing between multiparty and multiparty without entanglement[J]. Physical Review A, 2005, 72:012304.

　　[10] Liao Q, Liu H, Zhu L, Guo Y. Quantum secret sharing using discretely modulated coherent states[J]. Physical Review A, 2021, 103:032410.

　　[11] Shi R H, Huang L S, Yang W, Zhong H. Quantum secret sharing between multiparty and multiparty with Bell states and Bell measurements[J]. SCIENCE CHINA Physics, Mechanics and Astronomy, 2010(53):2238-2244.

　　[12] Yang Y G, Wang Y, Chai H P, Teng Y W, Zhang H. Member expansion in quantum (t, n) threshold secret sharing schemes[J]. Optics Communications, 2011, 284:3479-3482.

　　[13] Jia H Y, Wen Q Y, Gao F, Qin S J, Guo F Z. Dynamic quantum secret sharing[J]. Physics Letters A, 2012, 376:1035-1041.

　　[14] Hsu J L, Chong S K, Hwang T, Tsai C W. Dynamic quantum secret sharing[J]. Quantum Information Processing, 2013, 12:331-344.

　　[15] Sun Y, Xu S W, Chen X B, et al. Expandable quantum secret sharing network[J]. Quantum Information Processing, 2013, 12 (8):2877-2888.

　　[16] Liao C H, Yang C W, Hwang T. Dynamic quantum secret sharing protocol based on GHZ state[J]. Quantum Information Processing, 2014, 13:1907-1916.

　　[17] Qin H, Tang W K, Tso R. Multiparty to multiparty quantum secret sharing[J]. Physics Letters B, 2018, 32:1850350.

　　[18] 楊宇光, 盧嘉煜. 一種基于星型簇態的動態的分級的量子秘密共享協議[J]. 信息網絡安全, 2023, 23(06):34-42.

　　[19] Chen Q, Cheng J, Wang K L, Du J. Efficient construction of two-dimensional cluster states with probabilistic quantum gates[J]. Physical Review A, 2006, 73:012303.