摘要：介紹了統計分析方法中的主成分分析法，對考生考試成績數據利用matlab軟件進行了主成分分析，得出了數據的主成分和綜合評價函數， 并結合學生成績進行分析，了解到了每個考生在數學學科學習上有哪些優勢和不足，從而為改善學習方法和提高學習成績方面的提供重要參考。

　　關鍵詞：主成分分析;考生考試數據;matlab軟件　電子期刊

　　1 概述

　　考試是用來教學評價和檢查考生學習情況的基本手段，但每一次考試帶給我們的信息，絕不僅僅是每個考生的具體得了多少分數。其實我們還可以了解到更多考生的學習情況，那么我們就需要對批改試卷產生的數據進行統計分析，根據分析結果得到的結論，能夠為教學和學習提供參考，從而能不斷改進我們教學和學習工作。

　　對試卷進行統計分析時，我們會發現試卷各試題之問往往存在一定的相關性，即有些題目考察了相似的知識點和考點，對得到的數據不進行任何處理就進行分析，勢必會把試卷分析的變得復雜化.就不容易抓住數據的主要規律并對事物的性質做出準確的評價。因此，我們需要把原來的指標轉化為一個或少數幾個互相獨立的綜合指標來達到分析的目的。該文講的主成分分析法就是能達到這種目的的統計分析方法。

　　2 主成分分析的基本原理

　　2.1 主成分分析的基本思想[1]

　　主成分分析首先是Hotelling于1933年時提出的。主成分分析是一種利用數學思想達到降低維數的統計方法，即通過找出幾個綜合指標來代替眾多的原始指標， 并盡可能多的反映原始數據所提供的信息量，而且彼此之間相互獨立。主成分分析所要做的內容就是要設法把原來具有一定相關性的眾多變量，重新組合成一組新的相互獨立的綜合變量來代替原來變量，通常數學上的處理方法就是將原來的變量做線性組合，作為新的綜合變量，但這種組合如果不加以限制，就會有很多情況，那么我們如何選擇呢?如果將選取的第一個線性組合作為第一個綜合變量記為[F1]，那么我們自然希望它能盡可能地反應原來變量的信息，這里我們把包含“信息”的多少用方差來測量，即[Var(F1)]越大，表示[Y1]包含的信息越多。

　　因此所選取的[F1]應該是所有的線性組合中方差最大的，我們把[F1稱為]第一主成分。如果第一主成分不能夠代表原來多個變量的基本信息，那么就再選取第二個線性組合[F2]，為了有效的反應原來信息，[F1]已有的信息就不需要再出現在[F2]中，用數學語言表達就是要求[CovF1，F2=0]，我們把[F2稱]為第二主成分，依此類推，可以得到出第三、第四……第[p]個主成分。

　　2.2 主成分分析的基本理論[2]

　　設研究某一事物時涉及到[p]個變量，我們分別用[X1，X2，…，XP]表示，[X=(X1，X2，…，XP)T為]這[p]個指標構成的[p]維隨機向量。設隨機向量[X]均值[EX]和協方差陣[DX]分別為[μ]和Σ。對[X]進行線性變換，即可得到新的綜合變量，它可由原來的變量線性表示，即滿足下式：

　　[Yi=μTiX=μ1iX1+μ2iX21+…+μpiXpi=1，2，…，p ] (1)

　　易見 [VarYi=μTiμi，CovYi，Yj=μTiμj，(i，j=1，2，…，p)]

　　定義1 設[X=X1，X2，…，XPT] 為[P]維隨機向量。稱[Yi=μTiX] 為[X] 的第[i]主成分[i=1，2，…，p，如果：]

　　[μTiμi]=[μ21i+μ21i+…+μ21i=1，i=1，2，…，p] (2)

　　[CovYi，Yj=0]，[i≠j， i，j=1，2，…，p，即Yi與Yj不相關] (3)

　　[VarY1?VarY2?…?VarYp] (4)

　　從這個定義1，我們可以知道主成分是原來[p]個原始變量進行特殊線性組合構成的. 那么， 我們如何來求主成分呢? 一般地， 我們有：

　　定理 2 設[X=X1，X2，…，XPT] 為[P]維隨機向量。且[D(X)=Σ]， [Σ] 的特征值為 [λ1≥λ2?…≥λp>0，] [α1，α2，…，αp]為相應的單位正交特征向量，

　　則[X]的第[i]主成分為[Fi=αTiX i=1，2，…，p]

　　從這個定義2，我們了解到要求[X]的第[i]主成分，必須首先求出[X]方差的第[i]大特征值和相應的單位正交特征向量。

　　2.3 主成分分析的分析步驟[3]

　　設研究某一事物涉及[到p]個變量，每個變量都有[n]個數據。那么我們就可以得到一個[n×p]階的矩陣，將其記為

　　[X=xijnm=x11…x1p???xn1…xnp]=[X1，X2，...，Xp]

　　1)對矩陣[X]進行標準化處理

　　[xij=xij-xjσj]，[i=1，2，...，n;j=1，2，...，p]，

　　其中[xj=1ni=1nxij]，[σj=1ni=1nxij-xij2] ，

　　得到標準化矩陣仍記為

　　[X=xijnm=x11…x1m???xn1…xnm]

　　[Xi=x1i，xni，...xniT，i=1，2，...，p]

　　2) 求標準化后矩陣的相關系數矩陣：

　　[R=r11…r1n???rp1…rpn]=[1nXTX]

　　其中，[rij=1ni=1nxijxik=1nXiTXk]，[j，k=1，2，...，p]

　　3) 求相關系數矩陣[R]的特征值[λi]和相應的特征向量[αi]

　　4) 確定要選取的主成分個數，我們稱[λkk=1pλk]為第[k]個主成分的貢獻率，記為[ρk]，稱[k=1mλkk=1pλk]為前[m]個主成分的累積貢獻率。當前[m]個主成分累積貢獻率超過[83%]時，取前[m]個主成分代替原來的[p]個指標。

　　5) 求各主成分載荷[βi=λiαi]以及主成分載荷矩陣，再計算各主成分的得分函數[Fi=αiXi，i=1，2，...，m]

　　6) 把各變量的原始數據標準化后代入各主成分方程中，求得綜合評價值[F=ρ1F1+ρ2F2+...+ρmFm]進行分析評價。

　　3 應用主成分分析法分析考生成績[4-5]

　　3.1 選取主成分和構造綜合評價函數

　　以貴陽某中學的一個班在高三模擬考試中的數學選擇題的得分情況的數據為例.運用主成分分析法對考生數學學習情況進行分析。該班一共有50名考生。高中數學選擇題共12題，每題5分，將數學選擇題每個題目分別用[X1]、[X2]、[…]、[X12]。來表示，用[xij]表示第i個考生在數學選擇題第j題上的得分，則這樣就得到了一個[X=(xij)50×12]的矩陣，因此我們可以借助matlab主成分分析程序對這個矩陣進行主成分分析，得到下列結果：

　　根據主成分分析的相關理論，在選取主成分時，只需要將特征值從小到大排列，選取前[m]個累計貢獻率超過83%的主成分即可，通過上面表格和圖形的顯示的累計貢獻率可知，我們只需要選取5個主成分，從上面累積貢獻率情況可知我們選取的這5個主成分是可以反映全部指標的基本信息，所以可以用這5個新變量來代替原來的12個變量。根據前面講到的定理2我們可以得到選擇題的5個主成分公式，如下所示：

　　[F1=0.1932X1+0.1359X2+0.3402X3+0.2662X4+0.1254X5+0.2944X6 +0.2828X7+0.2454X8+0.5176X9+0.4098X10+0.2061X11+0.1915X12]

　　[F2=0.5196X1+0.5343X2+0.4956X3+0.2918X4-0.3985X5-0.4281X6 +0.3391X7-0.1558X8-0.1008X9+0.3771X10-0.3291X11-0.1933X12]

　　[F3=-0.0117X1-0.1687X2+0.1733X3-0.2693X4-0.3008X5+0.0588X6 +0.3456X7+0.5041X8-0.2919X9-0.2080X10-0.1174X11+0.5090X12]

　　[F4=-0.0802X1-0.0883X2+0.3429X3-0.0951X4-0.4928X5+0.5271X6 +0.0005X7-0.1161X8+0.1591X9-0.1941X10-0.2019X11-0.2702X12][F5=0.0993X1+0.1617X2+0.2707X3-0.0251X4+0.1000X5+0.1639X6 -0.3226X7-0.4542X8+0.0146X9+0.0011X10-0.4819X11+0.5571X12]

　　根據主成分分析的分析步驟的第6步可得到選擇題綜合評價函數：

　　[F=0.1894X1+0.1578X2+0.3443X3+0.0904X4-0.1792X5+0.0873X6 +0.1840X7+0.0356X8+0.1024X9+0.1524X10-0.1397X11+0.1210X12]

　　3.2 選擇題主成分分析

　　3.2.1 各題目重要性比較

　　通過圖1，我們可以知道變量[X1]、[X2]、[X3]、[X7]、[X8]、 [X9]、[X12]所對應的題目要高于平均重要性，而變量[X4]、[X5]、[X6]、[X8]、[X11]所對應的題目重要性要低于平均重要性(0.0955)。